Paranın istatistiksel mekaniği

Neden zenginler ve fakirler var? Neden küçük bir köyün sakinlerinin alım gücü aşağı yukarı denk iken, şehir ve ülke ölçeğinde para adaletsiz dağılır? Bazıları bunu basitçe “emperyalizm” ve “vahşi kapitalizm”in amansız sömürüsüyle açıklar; devrim yapıp sömürücüleri sırtımızdan attığımızda zengin-yoksul ayrımı kalmayacaktır.

Acaba?

Victor Yakovenko ve Barkley Rosser’in “Statistical mechanics of money, wealth, and income” (Reviews of Modern Physics, 81, 1703-1725, 2009) makalesi, birinci yazarın servet dağılımı modellemesi hakkında yaptığı çalışmaları özetliyor. Bu makaledeki basit alışveriş modelini kullanarak eşitlikçi bir toplulukta para dağılımının ne biçim alacağını kestirebiliyoruz.

Çok sayıda bireyi bulunan sanal bir topluluk alalım ve her birine eşit miktarda para verelim. Topluluktan rastgele olarak iki birey seçelim; bunların yaptığı “alışveriş” sonucunda bir miktar para birinden diğerine aktarılsın. Eğer “alıcı”nın yeterli parası yoksa, başka bir çift seçelim. Bu işlemi defalarca tekrarlayalım. Soru şu: Başlangıçta tamamen eşit dağılmış olan para, uzun vadede ne gibi bir dağılıma ulaşacak?

Bu “agent-based” simülasyon için Python ile kısa bir program yazdım. Hesapları tekrarlamak isterseniz kaynak kodu yazının sonunda.

Bin kişilik bir topluluk alalım. Her birinin başta 10 TL’si olsun ve her alışverişte alıcı satıcıya 1TL versin. Başta topluluktaki para dağılımı tek sütunlu bir grafiktir.

Bundan sonraki adımda bir birey 11 TL hanesine giderken, bir diğeri 9 TL hanesine gidecek. Ardından, yüksek ihtimalle aynısı gerçekleşecek, veya 11 TL’sı olan birey ya 12TL’ye ya da 10TL’ye geçecek, veya 9TL’si olan birey 10TL’ye veya 8TL’ye geçecek, vs.

Bu dinamiği anlamak için orta sütunun bin tane pire ile dolu olduğunu düşünelim. Bir çift pire sıçrarken birbirlerine çarparlarsa biri sağa biri sola düşecek. Aynı işlem tekrarlandıkça, 10TL’nin iki yanındaki haneler yavaş yavaş dolacak.

Bin etkileşmeden sonra ortaya şöyle bir dağılım çıkıyor:

Etkileşimlerde rastgelelik olduğu için aynı hesap tekrarlandığında biraz daha farklı bir dağılım ortaya çıkacaktır. Ciddi bir analiz yaparken bu hesabı çok sayıda tekrarlayıp ortalama almak gerekir. Ama bu kadarıyla da sistemin dinamiğini anlayabiliyoruz: Herkes eşit parayla başlıyor ama bir zaman sonra bazıları zenginleşiyor, bazıları da fakirleşiyor. Satın alma gücü dağılımı yayılıyor; eşitsizlik oluşuyor.

Yayılma nereye kadar sürecek? Pirelerin sağa doğru zıplamaları devam edebilir, ta ki biri toplulukta mevcut bütün parayı (10.000 TL) toplayana kadar. Ancak sola gidişlerde bir sınır var: Parası sıfıra düşenler alıcı olamaz, o yüzden para sıfırdan daha aşağı düşmez (ama satıcı olabilir, böylelikle parasını tekrar artırabilir). Pireler sıfır seviyesindeki bir duvarın yakınında birikmek zorunda kalırlar. Böylelikle, meselâ bir milyon etkileşimden sonra para dağılımı şöyle bir şekil alır:

Ciddi bir alım gücü uçurumu oluştu! Ortalama para miktarı hep aynı (10TL), ama nüfusun %10’unun hiç parası yok, %60’ı ise ortalamanın altında paraya sahip. Bireylerin %20’si toplam servetin %55’ine sahip.

Aynı hesabı defalarca tekrarlayıp dağılımın ortalamasını alırsak, girintisi çıkıntısı olmayan düzgün bir eğri elde ederiz. Bu eğrinin matematiksel formu azalan üstel fonksiyondur: P(m)=c\,\mathrm{e}^{-m/\langle m \rangle}. Burada c bir sabit (normalizasyon sabiti), \langle m \rangle ise ortalama para, yani 10TL.

Kapalı bir kutudaki atomların çarpışarak enerji değiş tokuşu yapması sonucu oluşan Boltzmann-Gibbs dağılımı, çok farklı bir sistem için geliştirilmiş olmasına rağmen tıpatıp aynı biçimdedir. Bire bir analoji ile enerji yerine para, sıcaklık yerine ise ortalama para koyarak basit alışveriş modelindeki sonuçlara ulaşılır. İki sistemin de altta yatan dinamiği aynı.

Pespembe bir modelimiz var: Bütün bireyler tamamen eşit ve denk. Herkes alıcı veya satıcı olabilir. Her malın/hizmetin fiyatı aynı. Şans eseri birkaç lira fazlanız varsa bile bu size alışverişlerde avantaj sağlamıyor. Karmaşık mâli araçlar yok. Herkesin birbirini sevip saydığı ütopik bir ortaçağ kasabasını seyreder gibiyiz. Ancak bütün bu güzelliğe rağmen satın alma gücünde eşitsizlikten kaçınamıyoruz. Eşitsizlik kötü yürekli ağalar tarafından empoze edilmiyor, alışveriş dinamiğinin içinde saklı.

Peki ama nasıl oluyor da, mikroskopik ölçekte bireyler eşitken, makroskopik ölçekte eşitsizlik zuhur ediyor? Bunu anlamak için Yakovenko’nun göstermediği bir grafiği göstermem lâzım: Bireylerden rastgele seçilen birinin parası zaman içinde nasıl değişiyor?

Takip ettiğimiz birey önce iflas ediyor, ama ardından kendini toplayıp servetini ortalamanın üstüne çıkarıyor. Bir süre 10-15 TL arasında gidip geldikten sonra Allah “yürü ya kulum” diyor ve üst orta sınıfa (25-30 TL) yükseliyor. Daha sonra yine iflas ediyor (ne oldum dememeli, ne olacağım demeli), sonra yine kazanıyor, ve böyle devam ediyor.

Yani, büyük ölçekte eşitsizlik olsa da, mikroskopla bakınca herkes aynı durumda. Evet, denge durumunda birkaç tane süper zenginin yanında aç kitleler mevcut, ama bu zenginler ve fakirler hep değişiyor, biri gidiyor yerine bir başkası geliyor.

Özetle, tamamen eşitlikçi bir toplulukta da yaşasanız zengin/fakir ayrımından kurtulamazsınız. Alım gücünün eşitlenmesi, basitçe, istikrarsız bir durumdur.

Bu sonuçla eşitsizliğin doğal ve normal olduğunu söylemeye çalışmıyorum. Elbette gerçek dünyada haksızlık ve sömürü var, ve servet eşitsizliği çoğunlukla bu adaletsizliklerden kaynaklanıyor. Söylemek istediğim, mükemmel bir dünya kursanız bile zenginlik/yoksulluk kendi kendine oluşacaktır. Önemli olan herkese adalet ve fırsat eşitliği sağlanmasıdır, böylece fakir düşenler tekrar zenginleşebilir.

Modele eklemeler

Her alışverişte aynı miktarda paranın el değiştirmesi çok gerçekçi değil. Bunun yerine çeşitli fiyatlandırma mekanizmaları düşünülebilir. Söz gelişi alışverişte el değiştiren para, ortalama paranın 0 ile 1 arasında rastgele bir katsayıyla çarpılması ile belirlenebilir. Veya, iki bireyin paralarının ortalamasının rastgele bir kesiri olabilir. Hatta modele büyük firmalar katılabilir; bu firmalar kredi alır, bireyleri işe alır ve maaş öder, üretim yapar, kâr eder. Bütün bu karmaşıklaştırmalar bile denge durumunda paranın Boltzmann-Gibbs formundaki dağılımını değiştirmiyor.

Buna karşılık, alışverişte ödenen fiyat alıcının mevcut parasına orantılı olursa, meselâ 10 TL’si olan birey 1 TL, 100 TL’si olan 10 TL ödüyorsa, dağılımın biçimi değişiyor. Bu tür kurallarda tamamen yoksul olma ihtimali sıfıra yaklaşıyor ve geniş bir orta sınıf oluşuyor. Çok zengin olma ihtimali, fakirlik ihtimali kadar dramatik şekilde olmasa da, azalıyor.

Daha fazla bilgi için Victor Yakovenko’nun web sitesindeki makalelere bakabilirsiniz.

Ek: Python programı

Grafikleri üretmek için matplotlib paketinin kurulu olması gerekli. Hem Python hem matplotlib serbest yazılımdır, ücretsiz olarak indirilip kurulabilir.

Bu program modelin en basit halini çalıştırır, ama Python biliyorsanız diğer değişiklikleri yapmak kolaydır. Programı istediğiniz şekilde kullanıp değiştirebilirsiniz.

# A model for the distribution of money.
# See Dragulescu & Yakovenko (2000), "Statistical Mechanics of Money"
# http://www2.physics.umd.edu/~yakovenk/econophysics/

# Displays final money distribution and
# the time series of the first agent's money.
import random
import matplotlib.pyplot as plt

# Set parameters
N_agents = 1000     # number of agents
delta_m = 1         # money transfer at each transaction
capital = 10        # initial money for each agent
end_time = int(1e6)  # total steps for the simulation

# Initialize
agents = range(N_agents)
money = [capital]*N_agents
histogram = [0]*capital*N_agents
histogram[capital] = N_agents
traj = [0]*end_time # trajectory of agent 0

t = 0     # time step
traj[t] = money[0]
while t < end_time:
    i,j = random.sample(agents, 2)

    # agent i gains delta_m, agent j loses.
    # If agent j does not have enough money,
    # choose another pair.
    if money[j] < delta_m:
        continue

    # update
    money[i] += delta_m
    money[j] -= delta_m
    traj[t] = money[0]
    t += 1

# Plot the results:
# Money distribution
plt.figure(1)
plt.hist(money, bins= range(max(money)+1), align='left')
plt.xlabel("Para miktari")
plt.ylabel("Birey sayisi")
plt.title("Para dagilimi")

# Time series of an agent
plt.figure(2)
plt.plot(traj)
plt.xlabel("Zaman")
plt.ylabel("Para")
plt.title("Tek bireyin parasi")

plt.show()
Reklamlar

Kaan Öztürk hakkında

Kaan Öztürk İstanbul’da doğdu. İstanbul Lisesi ve Boğaziçi Fizik mezunu. Rice Üniversitesi‘nde uzay fiziği alanında doktora yaptı. Işık ve Yeditepe üniversitelerinde ders verdi. 2015-2016 döneminde Rice'da ziyaretçi araştırmacı olarak çalıştı. Bugünlerde Sabancı Üniversitesi'nde optimizasyon ve yapay öğrenme konularında doktoraüstü araştırmacı olarak çalışıyor.

27 Mart 2011 tarihinde Bilimsel Programlama içinde yayınlandı ve , , , , olarak etiketlendi. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin. 5 Yorum.

  1. Merhaba,

    Yazi ve grafikler icin tesekkurler. Python betigini calistirmaya calistigimda cikti vermedigini gordum.

    Sonra eksigi buldum, plt.show() eklemek gerekiyor gibi gorunuyor.

    Iki grafik icin de plt.show() ekleyince grafikleri gorebildim.

    • Doğru, teşekkür ederim. ipython ile çalıştırdığımda show()’a ihtiyaç olmadığı için eklemeyi unutmuşum. Betik halindeyken gerekli tabii.

  2. Modelinizde bir populasyondaki sınırsız kaynağın üretim-tüketim, arz-talep dinamikleri olmaksızın sınırlı “değiş-tokuş aracı” vasıtasıyla rastgele değiş tokuşları sonucu belirli bir süre sonunda bu araçların dağılımı gösteriliyor. Ancak ortada bir zenginleşme yada fakirleşme yok gibi, haksız mıyım? 🙂

    • Piyasada dönen para miktarı sabit olduğu için genel zenginleşme veya fakirleşme olmadığını kastediyorsanız, haklısınız. Bireylerin elindeki para miktarı zaman içinde artıp azalıyor, o yüzden kişiler geçici olarak zenginleşip fakirleşiyorlar.

      Mal ve hizmetlerin toplam olarak korunumu söz konusu değil, değerleri değişebiliyor, ama merkez bankası yeni para basmadıkça para miktarı korunuyor. Ayrıca mal ve hizmet miktarı yerine para akışını takip etmek daha kolay.

      Dragulescu-Yakovenko modelinde kaynakların sınırsız olduğu varsayılmıyor, sadece her alışverişte aynı miktarda para el değiştiriyor. Mesela birisi 1 TL’lik elma satıyor, öbürü 1 TL’lik saç kesiyor. Bunlar çok gerçekçi varsayımlar olmayabilir ama asıl önemli nokta, bireylerin tamamen eşit ve aynı olduğu aşırı basitleştirilmiş bir alışveriş mekanizmasında bile eşitsizliğin ortaya çıkabilmesi.

      • Zenginleşme ve fakirleşme olmadığından kastım, bireylerin her durumda paraya çevrilebilir değerlere sahip olduğu. Para zaten bu değerleri temsil eden bir senet. Dolayısıyla zaten herkes simulasyonun başından sonuna kadar zengin bana kalırsa. Diğer bir deyişle “Zenginlik parayla değil…” 🙂

        Yada başta yine eşit bir şekilde dağıtılmış, toplam paraya denk sınırlı kaynak olduğunu farzedersek (gerçi böyle olunca paraca zenginliğin de bir sınırı olmuş oluyor para muhtemelen normal bir dağılım alacak) paraca fakir düşenler bir yandan mal-mülkçe zenginleşmiş oluyor.

        İktisatla ilgili hiçbir bilgim olmadığı eminim rahatça anlaşılıyordur. Ama yine de ekonomik eşitsizliğin “ideal” bir sistemde bile doğal olarak ortaya çıkacağı gibi hazin bir sonuca varan bu modelin temelinde bir problem yattığına dair hissiyatımı paylaşmak ve sizin de düşüncenizi almak istedim. Acaba ben mi çok ciddiye aldım bu işi… 🙂

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s

%d blogcu bunu beğendi: