Uzayda bir deney: Elektrikli çubuk etrafında su damlaları

Uluslararası Uzay İstasyonu (ISS) astronotu Don Pettit, yerçekimsiz ortamda küçük fizik deneyleri yapıyor. Bunlardan birinde, plastik bir örgü şişini bir kağıt sürerek elektrikliyor ve yakınına şırıngayla su damlacıkları fışkırtıyor. Damlacıklar şişin etrafında dönüyor ve aynı zamanda şişe paralel olarak ileri geri gidiyorlar.

Bunun (en azından benim için) hoş ve şaşırtıcı tarafı damlaların bir noktadan sonra geri dönmesi. Tabii şiş ve damla karşı yüklü oldukları için damlanın (çok hızlı değilse) geri gelmesi beklenir, ama geri gelme hareketinin damla şişten uzaklaşmadan başlaması ilginç.

Temel fizik kullanarak bunun simülasyonunu yapmak kolay. Aşağıda verdiğim Python kodu, SciPy ile bu işi yapıyor. Görselleştirmeyi matplotlib veya Visual Python ile yapabiliriz.

Damlayı, bir metre uzunluktaki bir çubuğun ortası hizasında çubuğa beş santim mesafeden, ve çubuğa paralel bir düzlemde fışkırtırsak şöyle güzel bir yörünge elde ediyoruz.

Damlanın iki ayrı hareketi var: Çubuğa dik bir dairesel hareket (başlangıç hızını bunu elde edecek şekilde ayarladık) ve çubuk boyunca ileri geri hareket. Aynı videoda gördüğümüz gibi. Görüldüğü gibi damla çubuktan uzaklaşmadan geri dönüyor, yani çubuğun kenarına doğru bir potansiyel enerji duvarı var. Eğer damlanın paralel hızı biraz daha fazla olursa (kodda vx0 = -2*vz0 yapmayı deneyin) damla çubuktan kurtulup uzaklaşır gider.

Daha uzak mesafelerden başlayınca yörünge daha karmaşıklaşıyor. Meselâ aşağıdaki yörüngede damla çubuğun orta noktasından 50 santim uzaklıkta başlıyor.

Eğer damla çok uzaktan başlarsa çubuk bir nokta gibi görüneceği için yörünge yine basitleşir, bir düzlemde elips haline gelir.

Kullandığım Python kodu aşağıda. Parametrelerle oynayarak ilginç davranışlar gözleyebilirsiniz. İsterseniz bir tane daha damlacık ekleyip, damlacıkların birbirlerini itişini de denkleme katarak kaotik bir dans seyredebilirsiniz. VPython üç boyutlu çizim yaptığı için fareyle görüntüyü döndürebilir, içeri dışarı zumlayabilirsiniz.

Python programı

Hesaplama için SciPy, yörüngeyi çizmek içinse matplotlib veya Visual Python kütüphanelerinin sistemde kurulu olması gerekli.

# Statik yüklü bir çubuk etrafında, elektrik yüklü bir su damlasının hareketi.
# Çubuk x ekseninde -L/2 ve L/2 arasında.

from scipy import *
from scipy.integrate import ode, odeint

Q = 1e-5 # Çubuktaki toplam yük (C)
q = -1e-7 # Damladaki yük (C)
m = 1e-4 # Damlanın kütlesi (kg)
k = 8.987551e9 # Coulomb sabiti, 1/(4*pi*epsilon_0)
L = 1.0 # Çubuğun uzunluğu (m)

# x,y,z noktasındaki elektrik alan vektörü
def Efield(x,y,z):
	rsq = y*y + z*z
	sqr1 = sqrt((x-L/2.0)**2 + rsq)
	sqr2 = sqrt((x+L/2.0)**2 + rsq)
	c = k*Q/L
	Ex = c * ( 1.0/sqr1 - 1.0/sqr2 )
	Ey = c * y * ( (x+L/2.0)/(rsq*sqr2) - (x-L/2.0)/(rsq*sqr1))
	Ez = c * z * ( (x+L/2.0)/(rsq*sqr2) - (x-L/2.0)/(rsq*sqr1))
	return Ex, Ey, Ez

# parçacığın enerjisi; hata payını görmek için
def energy(Y):
	x,y,z,vx,vy,vz = Y
	rsq = y**2 + z**2
	pe = k*q*Q/L*log( (x+L/2.0 + sqrt((x+L/2.0)**2 + rsq)) / (x-L/2.0 + sqrt((x-L/2.0)**2 + rsq)) )
	ke = 0.5*m*(vx**2 + vy**2 + vz**2)
	return ke+pe

# türev vektörü, odeint ile kullanmak için
def deriv(Y, t=0):
	x,y,z,vx,vy,vz = Y
	Ex, Ey, Ez = Efield(x,y,z)
	return [ vx, vy, vz, q*Ex/m, q*Ey/m, q*Ez/m]

tend = 0.2 # simülasyon süresi
dt = 0.001 # zaman adımı

# Başlangıç pozisyonu
x0, y0, z0 = 0, 0.05, 0.0

# Başlangıç hızı.
# Dik hareket çubuğun etrafında dairesel hareket oluşturacak şekilde seç
vz0 = sqrt(y0*abs(q*Efield(x0,y0,z0)[1])/m)
vx0 = -vz0
vy0 = 0

t = arange(0, tend, dt) # zaman listesi
# Hareket denklemini çöz:
y = odeint(deriv, [x0, y0, z0, vx0, vy0, vz0], t)

# Yörüngeyi matplotlib ile çizmek için aşağıdaki satırlarda # işaretini kaldırın.

#from pylab import *
#from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
#fig = figure()
#ax = Axes3D(fig)
#ax.set_xlabel('x')
#ax.set_ylabel('y')
#ax.set_zlabel('z')
#ax.plot(y[:,0], y[:,1], y[:,2])

# #Enerji-zaman grafiği : Hata payı 10^-9 -- fena değil.
#figure()
#plot(t, [energy(Y) for Y in y])
#show()

# Visual Python ile animasyon
from visual import *
rod = cylinder(pos=(-L/2.0,0,0), axis=(L,0,0), radius=0.01, color=color.red)
drop = sphere(pos=vector(x0,y0,z0), radius=0.01, color=color.blue)
drop.trail = curve(color=color.white)
scene.autoscale=False
i=0
while i<len(t):
	rate(50)
	drop.pos = y[i,:3]
	i+=1
	drop.trail.append(pos=drop.pos)

Teknik not

Çubuğun elektrik alanını ve potansiyelini bulmak için birinci sınıf fizik bilgisi yeterli.

Çubuğu x eksenine, ortası merkezde olacak şekilde yatıralım. Uzunluğu L, üzerindeki toplam yük ise Q olsun ve yük çubuk boyunca düzgün dağılmış olsun.


Çubuğu sonsuz küçük {\rm d}x^\prime uzunlukta {\rm d}q yüklü parçalara ayıralım. Yük düzgün dağılmış olduğu için {\rm d}q = \frac{Q}{L}{\rm d}x^\prime olur. Her bir parçanın yarattığı elektrik alanını integral alarak toplarsak (x,y,z) noktasındaki toplam alanı buluruz.

E_x (x,y,z)= \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 L} \int_{-L/2}^{L/2} \frac{x-x^\prime}{\left[(x-x^\prime)^2 + y^2 + z^2\right]^{3/2}}{\rm d}x^\prime

E_y (x,y,z)= \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 L} \int_{-L/2}^{L/2} \frac{y}{\left[(x-x^\prime)^2 + y^2 + z^2\right]^{3/2}}{\rm d}x^\prime

E_z (x,y,z)= \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 L} \int_{-L/2}^{L/2} \frac{z}{\left[(x-x^\prime)^2 + y^2 + z^2\right]^{3/2}}{\rm d}x^\prime

u\equiv x-x^\prime değiştirmesiyle integraller şu hale gelir:

E_x (x,y,z)= \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 L} \int_{x-L/2}^{x+L/2} \frac{u}{\left(u^2 + y^2 + z^2\right)^{3/2}}{\rm d}u

E_y (x,y,z)= \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 L} \int_{x-L/2}^{x+L/2} \frac{y}{\left(u^2 + y^2 + z^2\right)^{3/2}}{\rm d}u

E_z (x,y,z)= \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 L} \int_{x-L/2}^{x+L/2} \frac{z}{\left(u^2 + y^2 + z^2\right)^{3/2}}{\rm d}u

Bir integral tablosuna bakarak integralleri alabiliriz.

E_x (x,y,z)= \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 L} \left( \frac{1}{\sqrt{(x-L/2)^2 + y^2 + z^2}} - \frac{1}{\sqrt{(x+L/2)^2 + y^2 + z^2}} \right)

E_y (x,y,z)= \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 L} \frac{y}{y^2+z^2}\left( \frac{x+L/2}{\sqrt{(x+L/2)^2 + y^2 + z^2}} - \frac{x-L/2}{\sqrt{(x-L/2)^2 + y^2 + z^2}} \right)

E_z (x,y,z)= \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 L} \frac{z}{y^2+z^2} \left( \frac{x+L/2}{\sqrt{(x+L/2)^2 + y^2 + z^2}} - \frac{x-L/2}{\sqrt{(x-L/2)^2 + y^2 + z^2}} \right)

Damlanın kütlesi m ve yükü q ise, m\vec{a}=q\vec{E} ile hareket denklemi bulunur.

Yüklü çubuğun elektrik potansiyeli için benzer bir integral alınır.

V(x,y,z) = -\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 L} \int_{-L/2}^{L/2} \frac{{\rm d}x^\prime}{\sqrt{(x-x^\prime)^2 + y^2 + z^2}}

Yine u\equiv x-x^\prime değiştirmesiyle

V(x,y,z) = -\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 L} \int_{x-L/2}^{x+L/2} \frac{{\rm d}u}{\sqrt{u^2 + y^2 + z^2}}

elde edilir. Yine integral tablosundan bakarak

V(x,y,z) = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 L} \ln \left( \frac{x+L/2 + \sqrt{(x+L/2)^2 + y^2 + z^2}}{x-L/2 + \sqrt{(x-L/2)^2 + y^2 + z^2}} \right)

buluruz.

Damlanın toplam enerjisi \frac{1}{2}mv^2 + qV sıfırdan büyükse damla çubuktan kurtulup gidebilir. Enerji negatifse çubuğun etrafında yörüngede kalır.

Reklamlar

Kaan Öztürk hakkında

Kaan Öztürk İstanbul’da doğdu. İstanbul Lisesi ve Boğaziçi Fizik mezunu. Rice Üniversitesi‘nde uzay fiziği alanında doktora yaptı. Işık ve Yeditepe üniversitelerinde ders verdi. 2015-2016 döneminde Rice'da ziyaretçi araştırmacı olarak çalıştı. Bugünlerde Sabancı Üniversitesi'nde optimizasyon ve yapay öğrenme konularında doktoraüstü araştırmacı olarak çalışıyor.

16 Şubat 2012 tarihinde Bilimsel Programlama içinde yayınlandı ve , , , , olarak etiketlendi. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin. 4 Yorum.

  1. Harika bir paylaşım. Böylesine hoş ve şaşırtıcı bir gözlemin açıklaması, teori ve uygulama çok iyi bir şekilde dengelenmiş. Tebrik ederim.
    Tek merak ettiğim konu şu: deneyde su damlacıklarının hareketi muhakkak şişte son buluyor. Fakat model sonuçları sonsuz bir yörünge belirliyor. Deneyde hareketin son bulması bir sebepten dolayı enerjinin disipe olmasından kaynaklanıyor. Fakat yerçekimsiz ortamda tek düşünebildiğim astronot, şırınga ve/veya etrafta yer alan diğer yüklü yüzeylerin doğurabileceği pertürbasyon. Sizce modele eklenmesi gereken ek bir terim var mı?

    • Teşekkürler. Modelde hava sürtünmesini ihmal ettim; muhtemelen eklenmesi gereken baskın etki o. Yanılmıyorsam deney ISS’nin içinde, hava bulunan yerde yapılıyor. Özellikle şişe çok yaklaşan damlalar sürtünme sebebiyle çabucak şişe yapışıyor.

      Başka cisimlerin etkileri mevcut tabii, ama o etkiler küçük oldukları için kendilerini göstermeleri daha uzun vakit alır.

  2. Merhabalar.teşekkürler.bu elektriksel işleyişin uzayda farklı olduğunu mu göstermekte ?

    • Hayır, fizik kuvvetleri evrenin her yerinde aynı şekilde işliyor. Ama uzay istasyonunda ağırlıksız bir ortam olduğu için damlacıkların, sadece elektrik kuvvetinin etkisi altındaki hareketini görebiliyoruz. Dünya üzerinde damlaların ağırlığı, onları çubuğa çeken elektrik kuvvetinden çok daha büyük olacağı için pat diye düşerler.

Bir Yanıt Bırakın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Connecting to %s

%d blogcu bunu beğendi: