Kategori arşivi: matematik

Kuvvet kulesi

Aşağıdaki ifadeyi ele alalım:

\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\dots}}}

Burada üsteller sonsuza kadar gidiyor. Bu “kuvvet kulesi” ifadenin sonlu bir değeri var mıdır?

Bu değere x diyelim. Kule sonsuz olduğu için bir eksik bir fazla farketmez, o zaman bu x değeri için şu eşitlik geçerlidir:

(\sqrt{2})^x = x

Başka bir deyişle, öyle bir x bulalım ki, \sqrt 2‘nin x‘inci kuvveti x‘e eşit olsun. Bu özel durumda, deneme yanılma ile bir çözüm bulabiliriz.

(\sqrt{2})^2 = 2

Bunun bir çözümü daha var:

(\sqrt{2})^4 = 4

Yani, baştaki ifadenin değeri hem 2 hem 4 olabilir. Ama hangisi? İkisi birden olamaz.

Sayısal deneme yapalım. Kulenin yüksekliğini sonsuz değil de 100 tane yaparak makine hatası içinde değerin 2 olduğunu görüyoruz.

from math import sqrt
a = sqrt(2)
for i in range(100):
    a = sqrt(2)**a
print(a)

2.0000000000000004

Aynı ifadenin 4 çıkmasını sağlayacak bir bakış açısı var mıdır? Bilemiyorum. Bu sadece kullandığım yöntemin bir yan etkisi olabilir.

Şimdi bu problemi biraz daha genelleştirelim. Verilen bir pozitif a sayısı için

a^{a^{a^{\dots}}}

ifadesinin ne olduğunu bulmaya çalışalım.

Önceki gibi bunun çözümünün a^x = x eşitliğini sağladığını görebiliriz. Sorumuz, verilen bir a için bu eşitliğin çözümü var mı, varsa nedir?

Bir grafik çizelim. y=x doğrusu ile, farklı a‘lar için a^x eğrilerinin kesiştiği yerler bu eşitliğin çözümüdür.

Çeşitli a değerleri için a üzeri x eğrileri

Görüyoruz ki, a=1.5 ve daha büyük değerler için bir çözüm yok. Başka bir deyişle,

1.5^{1.5^{1.5^{\dots}}}

ifadesi sonsuz. Buna karşılık, a =\sqrt{2} için x=2 ve x=4 olarak iki çözüm olduğunu grafikte görüyoruz.

Çözümleri bulmak için Newton-Raphson yöntemini kullanalım. Bu, verilen bir f(x) fonksiyonunun köklerini (sıfır olduğu yerleri) bulmak için kullanılan iteratif bir yöntem. İlk tahmin olarak x_0  kullanırsak, Newton yöntemi ile bir sonraki tahminimiz

x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f^\prime(x_0)}

formülüyle bulunur. Bir sonraki adım için x_0 yerine x_1 koyar, ve gerektiği kadar tekrarlarız.

Çözmek istediğimiz denklem a^x = x olduğuna göre, f(x) = a^x -x fonksiyonunun kökleri bu denklemin çözümlerini verecek.Bunun türevi de f^\prime(x) = (\mathrm{ln}a)a^x -1 olur. Bunları kullanarak Newton-Raphson yöntemi çabucak bize cevabı verir.

from math import sqrt, log
def f(x):
    return a**x - x
def df(x):
    return log(a)*a**x - 1
a = sqrt(2)
x0 = 0  # ilk tahmin
for i in range(10):  # 10 iterasyon
    x0 = x0 - f(x0)/df(x0)
    print(x0)

1.5303942190345023
1.942129750748319
1.9987620189493733
1.999999400838403
1.9999999999998606
2.000000000000001
2.000000000000001
2.000000000000001
2.000000000000001
2.000000000000001

Peki ya diğer çözüm, yani 4? Onu elde etmek için x=2 çözümünün “çekim havzasından” çıkıp başka bir yerden başlamamız gerekir.

x0 = 5
for i in range(10):
    x0 = x0 - f(x0)/df(x0)
    print(x0)

4.31614460012233
4.047251399507646
4.0013251862721955
4.00000109062139
4.000000000000737
3.999999999999997
3.999999999999997
3.999999999999997
3.999999999999997
3.999999999999997

Merak ettiğim son bir şey kaldı: Bir çözüm olabilmesi için a‘nın alabileceği en yüksek değer nedir? Yukarıdaki grafikten bunun 1.4 ve 1.5 arasında bir yerde olduğunu biliyoruz. Analitik bir çözüm bulabilir miyiz?

Tam eşik değerdeki a için f(x) fonksiyonunun tek kökü olacaktır, yani yatay eksene teğet olacaktır. Bu teğet noktası aynı zamanda minimum olacaktır (yoksa tek kök olmazdı). O zaman, çözüm noktası şunları sağlamalı:

(1) f(x) = a^x -x=0
(2) f^\prime(x) = \mathrm{ln}(a)a^x -1 = 0

(1) bize şunları verir:

(1a) a^x = x
(1b) x\mathrm{ln}(a) = \mathrm{ln}(x)

(1b) sadece (1a)’nın iki tarafının logaritmasının alınmasıyla elde edildi. Bunları (2)’ye yerleştirirsek \mathrm{ln}(x)-1=0 elde ederiz. Yani, eşik değerdeki çözüm x=e olur. Bu çözümü (1b)’de yerine koyarak, a için eşik değerini elde ederiz:

a = e^{1/e}.

Bu değer yaklaşık 1.4447’dir; grafikte tahmin ettiğimiz aralığın içinde.

Sonuç olarak, a^{a^{a^{\dots}}} ifadesi, a <= e^{1/e} ise sonlu bir değere sahiptir, daha büyük a için sonsuzdur.

Bir yan ürün olarak da şu denkliği bulmuş olduk:

(e^{1/e})^{(e^{1/e})^{(e^{1/e})^{\dots}}} = e

Kardeşi \pi gibi, e sayısının da her yerde karşımıza çıkması ne hoş.

Daha zengin matematiksel ayrıntılar için Luca Moroni’nin makalesine bakabilirsiniz. Bu makaledeki daha ayrıntılı analizden, gerekli aralığın e^{-e} < a < e^{1/e} olduğunu öğreniyoruz.