Blog Arşivleri

Kuvvet kulesi

Aşağıdaki ifadeyi ele alalım:

\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\dots}}}

Burada üsteller sonsuza kadar gidiyor. Bu “kuvvet kulesi” ifadenin sonlu bir değeri var mıdır?

Bu değere x diyelim. Kule sonsuz olduğu için bir eksik bir fazla farketmez, o zaman bu x değeri için şu eşitlik geçerlidir:

(\sqrt{2})^x = x

Başka bir deyişle, öyle bir x bulalım ki, \sqrt 2‘nin x‘inci kuvveti x‘e eşit olsun. Bu özel durumda, deneme yanılma ile bir çözüm bulabiliriz.

(\sqrt{2})^2 = 2

Bunun bir çözümü daha var:

(\sqrt{2})^4 = 4

Yani, baştaki ifadenin değeri hem 2 hem 4 olabilir. Ama hangisi? İkisi birden olamaz.

Sayısal deneme yapalım. Kulenin yüksekliğini sonsuz değil de 100 tane yaparak makine hatası içinde değerin 2 olduğunu görüyoruz.

from math import sqrt
a = sqrt(2)
for i in range(100):
    a = sqrt(2)**a
print(a)

2.0000000000000004

Aynı ifadenin 4 çıkmasını sağlayacak bir bakış açısı var mıdır? Bilemiyorum. Bu sadece kullandığım yöntemin bir yan etkisi olabilir.

Şimdi bu problemi biraz daha genelleştirelim. Verilen bir pozitif a sayısı için

a^{a^{a^{\dots}}}

ifadesinin ne olduğunu bulmaya çalışalım.

Önceki gibi bunun çözümünün a^x = x eşitliğini sağladığını görebiliriz. Sorumuz, verilen bir a için bu eşitliğin çözümü var mı, varsa nedir?

Bir grafik çizelim. y=x doğrusu ile, farklı a‘lar için a^x eğrilerinin kesiştiği yerler bu eşitliğin çözümüdür.

Çeşitli a değerleri için a üzeri x eğrileri

Görüyoruz ki, a=1.5 ve daha büyük değerler için bir çözüm yok. Başka bir deyişle,

1.5^{1.5^{1.5^{\dots}}}

ifadesi sonsuz. Buna karşılık, a =\sqrt{2} için x=2 ve x=4 olarak iki çözüm olduğunu grafikte görüyoruz.

Çözümleri bulmak için Newton-Raphson yöntemini kullanalım. Bu, verilen bir f(x) fonksiyonunun köklerini (sıfır olduğu yerleri) bulmak için kullanılan iteratif bir yöntem. İlk tahmin olarak x_0  kullanırsak, Newton yöntemi ile bir sonraki tahminimiz

x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f^\prime(x_0)}

formülüyle bulunur. Bir sonraki adım için x_0 yerine x_1 koyar, ve gerektiği kadar tekrarlarız.

Çözmek istediğimiz denklem a^x = x olduğuna göre, f(x) = a^x -x fonksiyonunun kökleri bu denklemin çözümlerini verecek.Bunun türevi de f^\prime(x) = (\mathrm{ln}a)a^x -1 olur. Bunları kullanarak Newton-Raphson yöntemi çabucak bize cevabı verir.

from math import sqrt, log
def f(x):
    return a**x - x
def df(x):
    return log(a)*a**x - 1
a = sqrt(2)
x0 = 0  # ilk tahmin
for i in range(10):  # 10 iterasyon
    x0 = x0 - f(x0)/df(x0)
    print(x0)

1.5303942190345023
1.942129750748319
1.9987620189493733
1.999999400838403
1.9999999999998606
2.000000000000001
2.000000000000001
2.000000000000001
2.000000000000001
2.000000000000001

Peki ya diğer çözüm, yani 4? Onu elde etmek için x=2 çözümünün “çekim havzasından” çıkıp başka bir yerden başlamamız gerekir.

x0 = 5
for i in range(10):
    x0 = x0 - f(x0)/df(x0)
    print(x0)

4.31614460012233
4.047251399507646
4.0013251862721955
4.00000109062139
4.000000000000737
3.999999999999997
3.999999999999997
3.999999999999997
3.999999999999997
3.999999999999997

Merak ettiğim son bir şey kaldı: Bir çözüm olabilmesi için a‘nın alabileceği en yüksek değer nedir? Yukarıdaki grafikten bunun 1.4 ve 1.5 arasında bir yerde olduğunu biliyoruz. Analitik bir çözüm bulabilir miyiz?

Tam eşik değerdeki a için f(x) fonksiyonunun tek kökü olacaktır, yani yatay eksene teğet olacaktır. Bu teğet noktası aynı zamanda minimum olacaktır (yoksa tek kök olmazdı). O zaman, çözüm noktası şunları sağlamalı:

(1) f(x) = a^x -x=0
(2) f^\prime(x) = \mathrm{ln}(a)a^x -1 = 0

(1) bize şunları verir:

(1a) a^x = x
(1b) x\mathrm{ln}(a) = \mathrm{ln}(x)

(1b) sadece (1a)’nın iki tarafının logaritmasının alınmasıyla elde edildi. Bunları (2)’ye yerleştirirsek \mathrm{ln}(x)-1=0 elde ederiz. Yani, eşik değerdeki çözüm x=e olur. Bu çözümü (1b)’de yerine koyarak, a için eşik değerini elde ederiz:

a = e^{1/e}.

Bu değer yaklaşık 1.4447’dir; grafikte tahmin ettiğimiz aralığın içinde.

Sonuç olarak, a^{a^{a^{\dots}}} ifadesi, a <= e^{1/e} ise sonlu bir değere sahiptir, daha büyük a için sonsuzdur.

Bir yan ürün olarak da şu denkliği bulmuş olduk:

(e^{1/e})^{(e^{1/e})^{(e^{1/e})^{\dots}}} = e

Kardeşi \pi gibi, e sayısının da her yerde karşımıza çıkması ne hoş.

Daha zengin matematiksel ayrıntılar için Luca Moroni’nin makalesine bakabilirsiniz. Bu makaledeki daha ayrıntılı analizden, gerekli aralığın e^{-e} < a < e^{1/e} olduğunu öğreniyoruz.

LYS 2014: Fizik, matematik ve ilahiyat kontenjanları

Üniversite anfisi

Birkaç gün önce LYS sonuçları açıklandı. Tek tek her programın kontenjanı ve kaç kişinin yerleştirildiğine dair verileri içeren bir dosyayı ÖSYM’nin sitesinden indirdim ve bazı bölümlerin durumlarını inceledim. Özetle, fizik bölümlerinin düşüşü devam ediyor, diğer Fen-Edebiyat bölümlerinin durumu genelde iyi, ama ilahiyat bölümleri hepsini sollamış durumda.

İki hafta önce Dünya gazetesinden İsmet Özkul üniversite kontenjanlarının bir yıllık değişimini alanlara göre ayırarak analiz etti. Üretim yerine hizmetlere yönelik kontenjanların ağır bastığı görülüyor. Mühendislik, sosyal bilimler, eğitim, idari bilimler, temel bilimler gibi alanlarda kontenjanlar geçen yıla göre azalırken, hizmet elemanı, sosyal hizmetler ve ilahiyat gibi alanlarda ciddi bir artış var.

Alanlara göre LYS 2014 kontenjanları

Alanlara göre LYS 2014 kontenjanları (Dünya, 17.7.2014)

Tablodaki en büyük artış, %43 ile ilahiyat alanında. En büyük düşüş ise %30 ile fen bilimleri alanında. İki alanın kontenjan sayıları değiş tokuş edilmiş neredeyse. Bu artış ve düşüş, diğer alanlardaki değişimlerle kıyaslanamayacak kadar büyük.

İktidarın yıllardan beri sürdürdüğü bilim karşıtı söylem ve açıkça zikredilen “dindar nesil” yetiştirme amacını hatırlarsak, bu değişimin amaçlı bir sosyal politikadan kaynaklandığını tahmin edebiliriz. İmam-Hatip’e dönüştürülen binlerce lisenin mezununa bir şeyler ayarlayacaklar tabii.

Boşalan fizik bölümleri

Fizik bölümlerinin boş kaldığı haberlerine birkaç yıldır alıştık. Bu yıl da aynı trend maalesef devam ediyor. Vatan gazetesi, ondört fizik bölümünün hiç öğrenci almadığını bildirdi.

Tam bir yıl önce ÇOMÜ’den Necdet Yücel fizik bölümlerine yerleştirmeleri analiz etmişti. Ben de bu yılki verilerle aynı analizi tekrarladım. Fizik öğretmenliklerini saymadım, ve aynı üniversitede içindeki farklı programları (farklı burslar, KKTC kontenjanı vs.) birleştirdim. Manzara şöyle.

  • 48 üniversitede 50 fizik bölümü var (Ankara’da hem fizik, hem fizik mühendisliği var; Gazi’de ise iki ayrı FEF mevcut). Necdet hoca geçen yıl için 36 üniversitede 38 bölüm saymıştı. Bir yıl içinde 12 yeni fizik programı açılmış olamaz. Yanlış mı saydım diye kontrol ettim, ama farkın nedenini tam bulamadım.
  • Artık hiç bir üniversite fizik alanında ikinci öğretim vermiyor.
  • Geçen yıl hiç öğrenci almayan yedi fizik bölümü varken, bu yıl sayı 14’e çıkmış: Adıyaman, Ağrı, Aksaray, Bingöl, Dumlupınar, Erciyes, Fırat, Gazi (Polatlı), Kafkas, Karamanoğlu Mehmetbey, Kastamonu, Muğla, Pamukkale, Yüzüncü Yıl. Her biri 11 öğrencilik kontenjan açmış.
    Bunlardan Gazi (Polatlı), Muğla ve Pamukkale geçen yıl da hiç tercih edilmemiş.
  • Sadece bir öğrenci alan fizik bölümleri: Atatürk, Bozok, Celal Bayar, Cumhuriyet, Dicle, Osmangazi, Harran, Sakarya, Süleyman Demirel, Trakya. Bunların da her birinin 11 kişilik kontenjanı varmış.
    Yazık o tek öğrenciye. Beraber ders çalışacak kimse bulamaz, canı isteyince dersi asamaz. Hayatı zor.
  • Tam dolu veya doluya yakın 14 bölüm var: Ankara (fizik müh.), Boğaziçi, Ege, Gebze YTE, Hacettepe, Bilkent, İstanbul, İTÜ, İzmir YTE, Kocaeli, Koç, Marmara, ODTÜ, Yıldız. Geçen yıla göre daha fazla.
  • Fizik lisans programı bulunan (bildiğim kadarıyla) yedi vakıf üniversitesinden Işık, Fatih, Doğuş ve Kültür bu yıl fiziğe öğrenci almamışlar. Yeditepe ise tam burslu beş kişilik kontenjanını doldurmuş ama yarım burslu on kişilik kontenjanına kimseyi çekememiş. Koç ve Bilkent ise kontenjanı tam doldurmuşlar.
  • Açılan 1042 kişilik kontenjana 516 öğrenci yerleştirilmiş.

Akademisyen olma amacıyla fizik okumaya karar veren yeni mezunlardansanız, kendinizi Bad Luck Brian gibi hissedebilirsiniz. Verebileceğim tek tavsiye, henüz yaşınız gençken başka bir işe geçin.

auto-bad-luck-brian-269570

Fen-Edebiyat fakülteleri (şimdilik) batmıyor

Fizik bölümlerinin büyük kısmı öğrenci çekemiyor, tercih edilmiyor. Sebebi basit gibi görünüyor; ne de olsa fizik diploması karın doyurmaz, iş imkânı kısıtlıdır. Öyleyse, eğer öğrenciler kolay iş bulunmayacak bölümlere girmekten kaçınıyorlarsa, Fen-Edebiyat fakültelerinin bütün bölümlerinin aynı krizle karşı karşıya olması beklenir.

Bunu test etmek için, fizik kadar “işe yaramaz” olan matematik bölümlerinin de doluluk oranlarına baktım. Bu alanın durumu çok farklı. Tam 90 üniversitede 92 matematik programı (birkaçında matematik-bilgisayar veya matematik müh. adıyla) mevcut, ve bunların çok büyük çoğunluğu kontenjanını tam doldurmuş. Pamukkale, Muğla, Gazi (Polatlı) gibi, fiziğe hiç öğrenci çekemeyen üniversitelerin matematik bölümleri tamamen dolmuş, hem de sırasıyla 62, 67, 47 öğrenci alarak.

Matematik bölümlerinde 4077 kontenjana 3823 öğrenci yerleşmiş. Doluluk oranı %94.

Derleme işi biraz zahmetli olduğu için diğer bölümlere dair ayrıntılı istatistik veremiyorum (ÖSYM bir spreadsheet dosyası verme nezaketini göstermemiş, verileri PDF üzerinde arama yaparak elle derledim). Ama gördüğüm kadarıyla, biyoloji, kimya, sosyoloji, arkeoloji, gibi diğer fen-edebiyat bölümlerinin de çoğunun kontenjanı dolmuş. Hem de fizik bölümlerinden daha yüksek kontenjanlı olmalarına rağmen.

Öğrencisizlik probleminin özellikle fizik bölümlerinde daha kuvvetli olduğu anlaşılıyor. İş bulma kaygısı fen-edebiyat bölümlerine gelişi kısıtlıyor olabilir, ama fizik alanında başka bir caydırıcı faktör daha olsa gerek. Ne olduğunu bilemiyorum.

Hayat kime güzel?

Kontenjanı geçen seneye göre yarı yarıya artırılan ilahiyat alanındaki bölümlere bakalım şimdi de.

Bu alanda 55 üniversitede bulunan ilahiyat fakültelerinin yanı sıra, 14 üniversitede de islami ilimler fakülteleri mevcut. Ve bunların kontenjanları az buz da değil, Pek çoğu 100, 150, 200, hatta 250 civarında öğrenci alıyor. Her iki tip fakültenin toplam kontenjanı , doğru saydıysam, 15 582. Ve bir tane bile boş kontenjan yok, hepsi tamamen dolu.

Yukarıda verdiğim haberde de zaten 16 354 sayısı verilmiş. Aradaki fark gözden kaçırdığım bazı bölümlerden kaynaklanıyor olabilir. Her halükarda gayet yüksek bir sayı.

Buradan anlıyoruz ki, ilahiyat okumak isteyenlerin gelecek kaygısı yok.

Koca fakülteyle fizik, matematik gibi tek bölümleri karşılaştırmak doğru mu diye sorulabilir. Evet, çünkü ilahiyat ve islami bilimler fakültelerinin altında tek program var. Tıp fakültesinde sadece tıp programı olması gibi.

Neden fiziği ilahiyatla karşılaştırıyorum da, mesela diş hekimliği veya mühendislikle karşılaştırmıyorum? Çünkü ilahiyat ile fen bilimleri meslek kazandırma açısından aynı kulvardalar; ikisi de “faydasız”, ikisi de iş hayatına doğrudan uygulanabilecek bir mesleki beceri kazandırmıyor.  Ama temel bilimci “mezun olunca ne iş yaparım” diye düşünürken ilahiyatçının muhtemelen bu konuda kafası rahat, yoksa ilahiyat kontenjanları da boş kalırdı.

Başka alanlarda “her üniversite mezunu iş bulacak diye birşey yok” diye kestirip atanlar, din eğitimi alanları piyasanın arz-talep mekanizmasından korumak için her şeyi yapıyorlar. “Merak etmeyin, biz size iş ayarlarız” mesajı veriyorlar.

Tekrar din-bilim kavgası

Sürekli söylüyoruz; temel bilim eğitimi, sonunda akademik kariyer yapılmasa bile iyi bir eğitimdir. Kişinin doğayı anlamasını sağlar, incelikli düşünme yöntemlerini öğretir. Doğru verilirse olgulara çok yönlü bakmaya, analiz etmeye, sayıları kullanmaya, görüntüye aldanmamaya alıştırır. Temel bilim eğitimi almış birisinin zekâsı zor kavramlarla boğuşarak bilenmiştir, o yüzden birçok başka işi de kolaylıkla yapar.

Mutaassıp kesim ise, tersine, din eğitiminin meziyetlerini över. Bu tür bir eğitimin ahlâk, namus, toplum düzeni, büyüklere saygı, yerini bilme gibi şeyleri pekiştirdiği ileri sürerler.

(Muhafazakâr demiyorum, çünkü ne tarihi eserleri, ne doğayı, ne de ahlaki değerleri muhafaza ettiklerini görmedik. Para hırsı uğruna yok etmeyecekleri hiç bir şey yok.)

Bir açıdan bakınca, sadece bir ön kabul meselesi gibi görünüyor. Biz “bilim öğrenmek iyidir, çünkü akılcılık iyidir” kabulüne göre davranırken, diğerleri “din öğrenmek iyidir, çünkü manevi değerler önemlidir” kabulüyle hareket ediyor. Biz olsak, temel bilim eğitimi almış insanlara şöyle veya böyle bir istihdam sağlardık. Aynı kıyağı şu anda gücü elde bulunduran mutaassıplar din eğitimi alanlara yapıyor, ne olmuş?

Rölativizm batağına saplanmaya lüzum yok. İspata, gözleme dayalı delillere ve akıl yürütmeye dayanan bilimsel düşünce ile, eski masalların evrilip çevrilip sorgusuzca kabulune dayanan dini düşünce denk değildir. Birincisi eleştiriyi, sorgulamayı, araştırmayı teşvik eder, ikincisi ise safsataları, söyleneni olduğu gibi kabul etmeyi, otoriteye boyun eğmeyi. Mutaassıp bir iktidarın din eğitimini teşvik etmesinde şaşacak bir şey yok.

Uzaya çıkalım, nanoteknoloji yapalım, biyoteknoloji üretelim demek, inovasyon, ar-ge, silikon vadisi gibi tekerlemeleri sayıklamak kolay, ama bunların yapılması öyle siparişle ve emirle olmuyor. İstediğiniz kadar para verin, elinizde bilimsel yeterliliği belli bir eşiğin üstünde olan bir toplum yoksa, taşıma suyla değirmen döndürürsünüz. Bir yığın para çarçur edildikten sonra, göstermelik bir şeyleriniz olsun diye, kuşaklar boyunca bilimsel eğitime yatırım yapmış ülkelerin kapısına gidersiniz. Onlar da size bir kapalı kutu verirler, onunla eğlenirsiniz. Her şeyi geriden takip eder, başkalarının eline bakarsınız.

Ama başarısızlığın sorumluluğunu üstlenmezi muhakkak ahlâk eksikliğine veya iç-dış düşmanlara yüklersiniz. Bu çok mühim.

uzay1

Sonunda bir gün gelir, belki savaşla, belki ekonomik sömürüyle, sizi olmuş bir armut gibi avuçlarının içine alırlar. Veya aklı bir yana atarak tahrip ettiğiniz doğa sizden intikam almaya karar verir. O gün geldiğinde bütün ilahiyatçılarınızın toplu duası bile sizi kurtaramaz.

Derleme

Cumhuriyet Bayramı kutlu olsun.


Neredeyse bütün sayıların içinde “3” rakamı vardır desem tuhaf kaçabilir. Ne de olsa tek basamaklı sayılardan sadece biri 3. İki basamaklı sayıların ise sadece 19 tanesinde 3 rakamı var.

Ama sayılar sonsuz, ve gitgide daha büyük sayılara çıktıkça sayının en az bir “3” barındırması kaçınılmaz oluyor. Aşağıdaki video bunun nasıl olabildiğini açıklıyor, ve matematikteki “neredeyse hepsi” kavramına güzel bir örnek teşkil ediyor.

Elbette “3” rakamında özel birşey yok. Aynı mantıkla, neredeyse bütün sayılar “7” rakamını da, bütün diğer rakamları da barındırıyor.


Akademik mizah. “Big Bang Theory”yi beğendiyseniz, mizah duygunuzu daha da uzmanlaştırabilirsiniz.


Albert Einstein, Gandhi hakkında radyoya demeç veriyor. Büyük adamın müzikal Alman aksanlı sesini ilk kez duydum.

(Kaynak: oldradioworld.com)

I believe that Gandhi’s views were the most enlightened of all the political men in our time. We should strive to do things in his spirit: not to use violence in fighting for our cause, but by non-participation in anything you believe is evil.


Nikon Small World mikro-fotoğraf yarışmasına her yıl olağanüstü resimler katılıyor. Tabiatın güzelliğinin sadece dağlar ve ormanlardan ibaret olmadığını görmek için birebir.


Ömrünün büyük kısmını önceki yüzyılda geçirmiş olanlar bilir; eskiden 2000 yılının bir sihri vardı. Yirmibirinci yüzyılda çok farklı bir hayat olacağını hayal ederdik. Yirminci yüzyılın kanlı vahşetine rağmen (belki de bu yüzden), o yüzyılın insanları gelecekten müthiş şeyler beklerlerdi.

Geçmişte bugünün nasıl hayal edildiğini okumaktan hoşlananlar Smithsonian bünyesindeki Paleofuture blogunu beğeneceklerdir. Blogun arşivini de (www.paleofuture.com) ihmal etmeyin.

Çok atıf istiyorsanız matematiği az tutun!

Kutsal inek haline gelen atıf sayılarını komik hale düşüren her habere bayılıyorum. Scientific American bloglarında Evelyn Lamb yazmış: Bilimciler de bizim gibi! (Onlar da denklemleri sevmiyorlar.)

PNAS’da yayınlanan yeni bir çalışma, ekoloji ve evrimsel biyoloji yayınlarında matematiksel içeriğin atıfları nasıl etkilediğine bakmış. Ayrıntısına girmeyeyim; sonuçta görmüşler ki sayfa başına bir denklem fazla koymak atıfları %28 oranında azaltıyor. Ama makalenin sonundaki ek kısmına sürgün edilen denklemler atıf sayısına etki etmiyor. Denklem okumak kimseye çekici gelmiyor tabii.

Biyologların matematikle araları özellikle iyi değildir tabii. Muhtemelen fizikte atıflar böyle düşmez (hatta korelasyon ters dönebilir; az denklemi olan makaleye az atıf gelebilir.) Yine de genel olarak ne kadar az denklem okusak o kadar iyi tabii.

Neyse, bundan sonra az atıf aldığımız için üzülmeyelim, “teorik olduğumuz için bizi anlamıyorlar” deriz biter.

Matematiği yeniden keşfetmek

Bir tıp araştırmacısı metabolik eğrilerin altında kalan alanı hesaplamak için yeni bir yöntem geliştirdiğini iddia ediyor ve integral almayı Newton’dan 300 yıl sonra tekrar keşfetmiş oluyor. Bu parmak ısırtan keşif şu ana kadar tam 143 atıf almış durumda.
Bu yazının geri kalanını okuyun