Kuvvet kulesi

Aşağıdaki ifadeyi ele alalım:

$\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\dots}}}$

Burada üsteller sonsuza kadar gidiyor. Bu “kuvvet kulesi” ifadenin sonlu bir değeri var mıdır?

Bu değere $x$ diyelim. Kule sonsuz olduğu için bir eksik bir fazla farketmez, o zaman bu $x$ değeri için şu eşitlik geçerlidir:

$(\sqrt{2})^x = x$

Başka bir deyişle, öyle bir $x$ bulalım ki, $\sqrt 2$ ‘nin $x$ ‘inci kuvveti $x$ ‘e eşit olsun. Bu özel durumda, deneme yanılma ile bir çözüm bulabiliriz.

$(\sqrt{2})^2 = 2$

Bunun bir çözümü daha var:

$(\sqrt{2})^4 = 4$

Yani, baştaki ifadenin değeri hem 2 hem 4 olabilir. Ama hangisi? İkisi birden olamaz.

Sayısal deneme yapalım. Kulenin yüksekliğini sonsuz değil de 100 tane yaparak makine hatası içinde değerin 2 olduğunu görüyoruz.

from math import sqrt
a = sqrt(2)
for i in range(100):
    a = sqrt(2)**a
print(a)

2.0000000000000004

Aynı ifadenin 4 çıkmasını sağlayacak bir bakış açısı var mıdır? Bilemiyorum. Bu sadece kullandığım yöntemin bir yan etkisi olabilir.

Şimdi bu problemi biraz daha genelleştirelim. Verilen bir pozitif $a$ sayısı için

$a^{a^{a^{\dots}}}$

ifadesinin ne olduğunu bulmaya çalışalım.

Önceki gibi bunun çözümünün $a^x = x$ eşitliğini sağladığını görebiliriz. Sorumuz, verilen bir $a$ için bu eşitliğin çözümü var mı, varsa nedir?

Bir grafik çizelim. $y=x$ doğrusu ile, farklı $a$ ‘lar için $a^x$ eğrilerinin kesiştiği yerler bu eşitliğin çözümüdür.

Çeşitli a değerleri için a üzeri x eğrileri

Görüyoruz ki, $a=1.5$ ve daha büyük değerler için bir çözüm yok. Başka bir deyişle,

$1.5^{1.5^{1.5^{\dots}}}$

ifadesi sonsuz. Buna karşılık, $a =\sqrt{2}$ için $x=2$ ve $x=4$ olarak iki çözüm olduğunu grafikte görüyoruz.

Çözümleri bulmak için Newton-Raphson yöntemini kullanalım. Bu, verilen bir $f(x)$ fonksiyonunun köklerini (sıfır olduğu yerleri) bulmak için kullanılan iteratif bir yöntem. İlk tahmin olarak $x_0$ kullanırsak, Newton yöntemi ile bir sonraki tahminimiz

$x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f^\prime(x_0)}$

formülüyle bulunur. Bir sonraki adım için $x_0$ yerine $x_1$ koyar, ve gerektiği kadar tekrarlarız.

Çözmek istediğimiz denklem $a^x = x$ olduğuna göre, $f(x) = a^x -x$ fonksiyonunun kökleri bu denklemin çözümlerini verecek.Bunun türevi de $f^\prime(x) = (\mathrm{ln}a)a^x -1$ olur. Bunları kullanarak Newton-Raphson yöntemi çabucak bize cevabı verir.

from math import sqrt, log
def f(x):
    return a**x - x
def df(x):
    return log(a)*a**x - 1
a = sqrt(2)
x0 = 0  # ilk tahmin
for i in range(10):  # 10 iterasyon
    x0 = x0 - f(x0)/df(x0)
    print(x0)

1.5303942190345023
1.942129750748319
1.9987620189493733
1.999999400838403
1.9999999999998606
2.000000000000001
2.000000000000001
2.000000000000001
2.000000000000001
2.000000000000001

Peki ya diğer çözüm, yani 4? Onu elde etmek için $x=2$ çözümünün “çekim havzasından” çıkıp başka bir yerden başlamamız gerekir.

x0 = 5
for i in range(10):
    x0 = x0 - f(x0)/df(x0)
    print(x0)

4.31614460012233
4.047251399507646
4.0013251862721955
4.00000109062139
4.000000000000737
3.999999999999997
3.999999999999997
3.999999999999997
3.999999999999997
3.999999999999997

Merak ettiğim son bir şey kaldı: Bir çözüm olabilmesi için $a$ ‘nın alabileceği en yüksek değer nedir? Yukarıdaki grafikten bunun 1.4 ve 1.5 arasında bir yerde olduğunu biliyoruz. Analitik bir çözüm bulabilir miyiz?

Tam eşik değerdeki $a$ için $f(x)$ fonksiyonunun tek kökü olacaktır, yani yatay eksene teğet olacaktır. Bu teğet noktası aynı zamanda minimum olacaktır (yoksa tek kök olmazdı). O zaman, çözüm noktası şunları sağlamalı:

(1) $f(x) = a^x -x=0$
(2) $f^\prime(x) = \mathrm{ln}(a)a^x -1 = 0$

(1) bize şunları verir:

(1a) $a^x = x$
(1b) $x\mathrm{ln}(a) = \mathrm{ln}(x)$

(1b) sadece (1a)’nın iki tarafının logaritmasının alınmasıyla elde edildi. Bunları (2)’ye yerleştirirsek $\mathrm{ln}(x)-1=0$ elde ederiz. Yani, eşik değerdeki çözüm $x=e$ olur. Bu çözümü (1b)’de yerine koyarak, $a$ için eşik değerini elde ederiz:

$a = e^{1/e}$ .

Bu değer yaklaşık 1.4447’dir; grafikte tahmin ettiğimiz aralığın içinde.

Sonuç olarak, $a^{a^{a^{\dots}}}$ ifadesi, $a <= e^{1/e}$ ise sonlu bir değere sahiptir, daha büyük $a$ için sonsuzdur.

Bir yan ürün olarak da şu denkliği bulmuş olduk:

$(e^{1/e})^{(e^{1/e})^{(e^{1/e})^{\dots}}} = e$

Kardeşi $\pi$ gibi, $e$ sayısının da her yerde karşımıza çıkması ne hoş.

Daha zengin matematiksel ayrıntılar için Luca Moroni’nin makalesine bakabilirsiniz. Bu makaledeki daha ayrıntılı analizden, gerekli aralığın $e^{-e} < a < e^{1/e}$ olduğunu öğreniyoruz.